清华笔记：计算共形几何讲义 （8）狭缝映射（Slit Map）的存在性
我们用较为初等的复变函数方法证明一种共形映射的存在性：狭缝映射（slit mapping）。如图所示，给定亏过为0的多连通曲面，存在共形映射将其映射到平面区域，每个边界的联通分支都被映成一条狭...
清华笔记：计算共形几何讲义 （9）全纯微分
双全纯函数图1. Escher 效果：双全纯函数是复平面间的共形映射。黎曼面图2. 黎曼面的概念。黎曼面和黎曼度量黎曼面之间的全纯映射图3. 黎曼面间的双全纯映射。亚纯微分黎曼面上的微分形式的定义...
清华笔记：计算共形几何讲义 （10）纪念米尔扎哈尼——泰希米勒（Teichmuller）空间
多年以前，我还在哈佛求学，导师丘成桐先生叮嘱我要研究柯蒂斯. 麦克马伦(Curtis McMullen)的理论，McMullen用组合的方法来研究共形结构，非常适合计算。丘先生自己也在哈佛的研究生课程上讲解...
清华笔记：计算共形几何讲义 （11）黎曼映照（Riemann Mapping）的存在性
共形几何中最为大家所熟识的定理大概非黎曼映照莫属，其证明方法也是丰富多彩，各有千秋。这里，我们回忆一下经典的复分析手法，朴素初等，但是非常具有代表性。在复分析中，标准共形映射的存在...
清华笔记：计算共形几何讲义 （12）极值长度
图1. 圆柱面的共形模。拓扑等价的度量曲面是否共形等价，亦即拓扑同胚的带有黎曼度量的曲面间是否存在保角双射，这是一个微妙的问题。几何上，我们需要寻找共形变换下的全系不变量，通过比较不...
清华笔记：计算共形几何讲义 （13）Koebe 迭代收敛性
【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友，前来旁听指导。】图1. 亏格为0、带有多个边界的曲面到平面圆域（Circle Domain）的...
清华笔记：计算共形几何讲义 （14）共形模的计算
【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友，前来旁听指导。】我们前面详尽地介绍了各种拓扑曲面共形不变量（共形模）的概念和理...
清华笔记：计算共形几何讲义 （15）拓扑圆盘的调和映照
图1. 从三维人脸曲面到平面圆盘的调和映照。【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友，前来旁听指导。】我们前面的课程介绍了...
清华笔记：计算共形几何讲义 （16）拓扑球面的调和映照
【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友，前来旁听指导。】上次课程，我们讲解了拓扑圆盘间的调和映照。这次，我们讨论拓扑球...
清华笔记：计算共形几何讲义 （17）全纯二次微分（holomorphic quadratic differential）
【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友，前来旁听指导。】上次课程，我们讲解了调和映照的理论框架。这次课程，我们应用从度...
清华笔记：计算共形几何讲义 （18）拟共形映射（Quasi-Conformal Map）
图1. 曲面注册问题的描述。图2. 曲面间的拟共形映射。左帧曲面的每一个小圆盘区域都映射到右侧椭圆盘区域。椭圆域的偏心率和方向给出了Beltrami系数，Beltrami系数决定了映射。拟共形映射图3. ...
清华笔记：计算共形几何讲义 （19）离散曲面曲率流 （Discrete Surface Ricci Flow ) I
【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友，前来旁听指导。】图1. 曲面单值化定理：所有带度量的封闭曲面都可以保角地映到三种...