原文：Eigen官网-Reductions, visitors and broadcasting

1. Reductions

在Eigen中，Reduction是用来处理matrix或者array的某类特征，然后返回一个标量。

1.1 求和

sum()返回matrix或array中所有元素的和。

1.2 范数计算

L2范数 squareNorm()，等价于计算vector的自身点积，也等价于vector中所有元素的平方和。

norm()返回squareNorm()的开方根。
这些操作应用于matrix，norm() 会返回Frobenius或Hilbert-Schmidt范数。

如果你想使用其他Lp范数，可以使用lpNorm< p >()方法。p可以取Infinity，表示L∞范数。
示例如下：

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
  VectorXf v(2);
  MatrixXf m(2,2), n(2,2);
  
  v << -1,
       2;
  
  m << 1,-2,
       -3,4;
  cout << "v.squaredNorm() = " << v.squaredNorm() << endl;
  cout << "v.norm() = " << v.norm() << endl;
  cout << "v.lpNorm<1>() = " << v.lpNorm<1>() << endl;
  cout << "v.lpNorm<Infinity>() = " << v.lpNorm<Infinity>() << endl;
  cout << endl;
  cout << "m.squaredNorm() = " << m.squaredNorm() << endl;
  cout << "m.norm() = " << m.norm() << endl;
  cout << "m.lpNorm<1>() = " << m.lpNorm<1>() << endl;
  cout << "m.lpNorm<Infinity>() = " << m.lpNorm<Infinity>() << endl;
}

结果如下：

v.squaredNorm() = 5
v.norm() = 2.23607
v.lpNorm<1>() = 3
v.lpNorm<Infinity>() = 2

m.squaredNorm() = 30
m.norm() = 5.47723
m.lpNorm<1>() = 10
m.lpNorm<Infinity>() = 4

Operator norm: 1-norm和∞-norm可以通过其他方式得到。

示例如下：

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
using namespace Eigen;
using namespace std;
int main()
{
  MatrixXf m(2,2);
  m << 1,-2,
       -3,4;
  cout << "1-norm(m)     = " << m.cwiseAbs().colwise().sum().maxCoeff()
       << " == "             << m.colwise().lpNorm<1>().maxCoeff() << endl;
  cout << "infty-norm(m) = " << m.cwiseAbs().rowwise().sum().maxCoeff()
       << " == "             << m.rowwise().lpNorm<1>().maxCoeff() << endl;
}

结果如下：

1-norm(m)     = 6 == 6
infty-norm(m) = 7 == 7

1.2 布尔归约

这些功能通常和Array中提供的元素级的比较操作一起使用。

操作	功能
all()	如果Matrix或Array中所有元素的对应操作返回Ture则返回True
any()	如果Matrix或Array中所有元素中至少一个元素的对应操作返回Ture则返回True
count()	返回Matrix或Array中所有元素对应操作返回True的数量

示例如下：

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
  ArrayXXf a(2,2);
  
  a << 1,2,
       3,4;
  cout << "(a > 0).all()   = " << (a > 0).all() << endl;
  cout << "(a > 0).any()   = " << (a > 0).any() << endl;
  cout << "(a > 0).count() = " << (a > 0).count() << endl;
  cout << endl;
  cout << "(a > 2).all()   = " << (a > 2).all() << endl;
  cout << "(a > 2).any()   = " << (a > 2).any() << endl;
  cout << "(a > 2).count() = " << (a > 2).count() << endl;
}

结果如下：

(a > 0).all()   = 1
(a > 0).any()   = 1
(a > 0).count() = 4

(a > 2).all()   = 0
(a > 2).any()   = 1
(a > 2).count() = 2

2. Visitors

当我们想获取某元素在Matrix或Array中的位置的时候，迭代器是必须的。常用的有：minCoeff(&x, &y)和maxCoeff(&x, &y)。

传入visitor中的参数是某个变量的指针，其中存储了该变量在矩阵中的行、列位置。

示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
  Eigen::MatrixXf m(2,2);
  
  m << 1, 2,
       3, 4;
  //get location of maximum
  MatrixXf::Index maxRow, maxCol;
  float max = m.maxCoeff(&maxRow, &maxCol);
  //get location of minimum
  MatrixXf::Index minRow, minCol;
  float min = m.minCoeff(&minRow, &minCol);
  cout << "Max: " << max <<  ", at: " <<
     maxRow << "," << maxCol << endl;
  cout << "Min: " << min << ", at: " <<
     minRow << "," << minCol << endl;
}

结果如下：

Max: 4, at: 1,1
Min: 1, at: 0,0

3. Partial reductions-部分归约

Eigen中支持对Matrx或Array的行或列进行归约操作，返回该行或该列中的相应值。部分归约可以使用colwise()、rowwise()函数。其中，colwise()返回一个行向量，rowwise()返回一个列向量。
示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
int main()
{
  Eigen::MatrixXf mat(2,4);
  mat << 1, 2, 6, 9,
         3, 1, 7, 2;
  
  std::cout << "Column's maximum: " << std::endl
   << mat.colwise().maxCoeff() << std::endl;
}

结果如下：

Column's maximum: 
3 2 7 9

3.1 结合部分归约和其他操作

可以利用部分归约操作的结果进行进一步处理，比如寻找一个矩阵中最大的列向量和。
示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
  MatrixXf mat(2,4);
  mat << 1, 2, 6, 9,
         3, 1, 7, 2;
  
  MatrixXf::Index   maxIndex;
  float maxNorm = mat.colwise().sum().maxCoeff(&maxIndex);
  
  std::cout << "Maximum sum at position " << maxIndex << std::endl;
  std::cout << "The corresponding vector is: " << std::endl;
  std::cout << mat.col( maxIndex ) << std::endl;
  std::cout << "And its sum is is: " << maxNorm << std::endl;
}

结果如下：

Maximum sum at position 2
The corresponding vector is: 
6
7
And its sum is is: 13

4. Broadcasting

广播背后的概念类似于部分归约，其区别在于广播构造一个表达式，其中向量（列或行）通过在一个方向上复制而被解释为矩阵。

比如将一个列向量加到一个矩阵的每列上。

注意：对Array类型，*=，/=和/这些操作可以进行行/列级的操作，但不使用与Matrix，因为会与矩阵乘混淆。当用Broadcasting对Matrix类进行操作只能应用于Vector类型，而不能用于Matrix类型。同样，对Array类进行操作时，和VectorXf对应的ArrayXf类型。

示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
int main()
{
  Eigen::MatrixXf mat(2,4);
  Eigen::VectorXf v(2);
  
  mat << 1, 2, 6, 9,
         3, 1, 7, 2;
         
  v << 0,
       1;
       
  //add v to each column of m
  mat.colwise() += v;
  
  std::cout << "Broadcasting result: " << std::endl;
  std::cout << mat << std::endl;
}

结果如下：

Broadcasting result: 
1 2 6 9
4 2 8 3

4.1 结合广播和其他操作

计算矩阵中哪列与目标向量距离（Euclidean distance）最近。

示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
  Eigen::MatrixXf m(2,4);
  Eigen::VectorXf v(2);
  
  m << 1, 23, 6, 9,
       3, 11, 7, 2;
       
  v << 2,
       3;
  MatrixXf::Index index;
  // find nearest neighbour
  (m.colwise() - v).colwise().squaredNorm().minCoeff(&index);
  cout << "Nearest neighbour is column " << index << ":" << endl;
  cout << m.col(index) << endl;
}