清华笔记：计算共形几何讲义 （12）极值长度

图1. 圆柱面的共形模。

拓扑等价的度量曲面是否共形等价，亦即拓扑同胚的带有黎曼度量的曲面间是否存在保角双射，这是一个微妙的问题。几何上，我们需要寻找共形变换下的全系不变量，通过比较不变量，我们可以判断曲面是否共形等价。如果曲面是拓扑圆盘，边界上选取四个角点，则曲面被称为是拓扑四边形。拓扑四边形的共形不变量，被称为是曲面的共形模。

图2. 拓扑四边形和共形模。

图3. 平直度量是极值度量。

共形模的概念可以自然的推广到拓扑环带情形，因为拓扑环带可以共形映射到长方形（左右两侧重合），如图1所示。

图4. 拓扑环带的共形模。

串联两个电阻，则等效电阻为各个电阻之和；并联两个电阻，则等效电导（电阻之倒数）等于各个电导之和。假设电阻率为常值，则长方形材料的等效电阻等于宽比高（电极连接左右两侧）。如果，我们将长方形进行相似变换，则等效电阻并不变化。

共形变换在无穷小意义下是相似变换，因此宏观上，等效电阻在共形变换下不变，共形模的物理解释就是等效电阻。

图5. 存在性和唯一性

原文发布在【老顾谈几何】公众号 （2017年7月23日）

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