清华笔记：计算共形几何讲义 （15）拓扑圆盘的调和映照

图1. 从三维人脸曲面到平面圆盘的调和映照。

【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友，前来旁听指导。】

我们前面的课程介绍了亏格为0带边界曲面的典范共形映射，包括古典理论和基于全纯微分的计算方法。这里，我们着重介绍拓扑球面到标准球面的典范共形映射，主要是基于调和映照理论。

图2. 曲面的三角剖分。

图3. 最速下降法和共轭梯度法对比。

共轭梯度法每一步的下降方向和椭球面切方向相互共轭（仿射正交），也跟以前所有下降方向共轭，从而直达椭球中心，直截了当，迅速高效。理论上，如果矩阵为n维，则共轭梯度法必在n步内达到最优。

图4. 调和映射是微分同胚，并且接近共形映射。

工程上偏爱调和映照的另外一个原因是调和映射接近保角映射，因此曲面的角度畸变比较小，如图4所示。通常意义下，共形映射是调和映射，调和映射不一定是共形映射。

原文发布在【老顾谈几何】公众号 （2017年7月30日）

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