清华笔记：计算共形几何讲义 （21）离散曲面曲率流 （Discrete Surface Ricci Flow）III

以前章节，我们介绍了曲面曲率流的一种离散形式-离散Yamabe流，主要操作是顶点缩放（Vertex Scaling）来共形变换度量来实现目标曲率。在实践中，往往多面体曲面的三角剖分是固定的。如果给定一些较为极端的目标曲率，有可能离散曲率流会出现爆破情况（blowup），就是在有限时间内某个三角形退化（degenerated），离散度量不再满足三角形不等式。因此，如何解决离散曲率流的稳定性成为研究重点。

最为简洁有效的手段就是在曲率流中动态变换三角剖分，黎曼度量依随时间演化而变化，三角剖分依随度量的变化而变化，时刻保持是Delaunay剖分。这样，我们可以证明，对于任意满足高斯-博纳条件的目标度量，离散曲率流将会收敛到相应的目标曲率。这给了我们一个设计黎曼度量的强有力的工具。

这一讲，我们来证明离散曲面曲率流解的存在性，所用的数学工具主要是Teichmuller空间理论和代数拓扑中的区域不变定理。

图6. 几何三角剖分。

图1. Delaunay三角剖分，对偶的Voronoi Diagram。

图2. Delaunay三角剖分的条件。

图3. 欧氏和双曲Delaunay三角剖分。

图5. 欧氏和双曲的Ptolemy等式。

离散曲面曲率流解的存在性证明，最为困难之处在于三角剖分的动态变化。传统的算法，例如有限元方法，多是基于固定三角剖分进行分析。在我们的推导中，黎曼度量一直起到主导作用，三角剖分退为其次。这意味着组合结构应该为几何结构服务。

回顾以上证明过程，我们看到需要一些比较深入的双曲几何和Teichmuller 空间理论。虽然结论和算法貌似初等，但是其后面的理论基础却是非常现代而深奥，并且和连续理论所用的数学工具迥然不同。这显示了将连续理论推广成离散理论的内在难度。但是，为了适应计算机迅猛的发展，推广古典几何理论和建立离散理论已经成为时代的必然。

Reference

• X. Gu, R. Guo, F. Luo, J. Sun and T. Wu, A discrete Uniformization theorem for polyhedral surfaces I, Journal of Differential Geometry, 2016 (arXiv:1309.4175)

• X. Gu, R. Guo, F. Luo, J. Sun and T. Wu, A discrete Uniformization theorem for polyhedral surfaces II, Journal of Differential Geometry, 2016

  (arXiv:1401.4594) 

原文发布在【老顾谈几何】公众号 （2017年8月17日）

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