清华笔记：计算共形几何讲义 （22）离散曲面曲率流 （Discrete Surface Ricci Flow）IV

设计黎曼度量又是计算机图形学、计算机视觉、计算力学、医学图像等领域最为基本的问题之一。许多工程中的关键问题可以归结为设计一种特殊的黎曼度量。离散曲面Ricci流是通过曲率来设计黎曼度量的有力武器。迄今为止，这是唯一的一种方法，既有严密的理论基础，又有高效稳定的算法。

在前述章节中，我们证明了离散曲面曲率流解的存在性、唯一性，其对应熵能量的凸性及其几何解释。这一讲，我们来证明离散曲率流所得到的离散共形变换收敛到光滑Ricci flow的结果。因为离散曲率流方法完全独立于传统的有限元分析方法，因此其收敛性证明的方法也必然是迥异的。通过冗长而严密地推导，我们给出了精确的逼近结果。

图1. 平面等边三角形。

图2. 光滑曲面。

图3. 离散化。

图4. 逼近。

图5. 补偿化。

Reference

• X. Gu, F. Luo and T. Wu, Convergence of Discrete Conformal Geometry and Computation of Uniformization Maps, Asian Journal of Mathematics, 2017.

原文发布在【老顾谈几何】公众号 （2017年8月18日）

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