B-样条曲线——动机 Motivation

B-样条曲线——动机

Motivation

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定义

    考虑设计一个花瓶的剖面图。下图左边是11次（degree）的贝塞尔曲线；但是它很难弯曲瓶颈到线段 P4P5。当然，我们可以在这个线段附近增加控制点来增加该区域的权重。但是这会增加曲线的次数（degree）。许多情况下，不值得使用如此高次（degree）的多项式。

     如前面讨论过的贝塞尔曲线的导数 ，我们可以将两个贝塞尔曲线连接起来。只要第一条曲线的最后一段和第二条曲线的第一段有相同方向，我们至少可以获得 G¹ 连续性，因为切向量有相同方向但可能有不同的长度（即，如果长度相同，它就是C¹ 连续的）。上边中间图使用了这个思想。它有3个3次贝塞尔曲线段，连接点用黄色矩形框标记。这说明有满足 G¹ 连续条件的多重低阶贝塞尔曲线段，我们可以设计出复杂形状。但是，保持 G1 连续条件会是乏味和不受欢迎的。

     有没有可能我们仍用更低阶曲线段而不用考虑 G¹ 连续条件? B-样条曲线是贝塞尔曲线的推广且正是为了解决这个问题的。上边右图是一个8控制点的3次B-样条曲线。实际上，由5条3次贝塞尔曲线段连接起来形成了由控制点定义的B-样条曲线。 上图中，那些小点把B-样条曲线划分为贝塞尔曲线段。可以像贝塞尔曲线那样移动控制点来修改曲线的形状。我们也可以修改曲线的细分（subdivision）。因此B-样条曲线有更高阶曲线设计的自由度。

    直接细分（Subdividing）曲线是很困难的。因此，我们细分曲线的定义域。因此，如果曲线的定义域是[0,1]，这个闭区间被称为节点（knots）的点细分而成。设这些节点是 0 <= u₀ <= u₁ <= … <= u_m <= 1。那么点C(u_i)的曲线细分如下图所示，因此，修改[0,1]的细分会改变曲线的形状。

    总之，为了设计一个B-样条曲线，我们需要一系列的控制点，一系列的节点和一系列的系数，每个系数对应一个控制点，所以所有曲线段连接在一起满足某个连续条件。系数的计算可能是最复杂的步骤因为它们必须保证某个连续条件。幸运的是，这个计算在本课程中不需要。我们只需要知道相关特性用于B-样条曲线的推理就可以了。 

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译注：

1.  本文翻译是“B-样条曲线（B-spline Curves）教程”中的一部分，其余翻译部分见“B-样条曲线（B-spline Curves）教程目录”。
2.  “B-样条曲线（B-spline Curves）教程”是翻译自C.-K. Shene博士的CS3621 Introduction to Computing with Geometry Notes的第6部分“B-spline Curves”。
3. 本文原文地址：Motivation  。
4. 本文首发“博士数学家园 ”