B-样条曲线：特例

B-spline Curves: A Special Case

如果我们有 2n+2 个节点 u₀ = u₁ = … = u_n = 0及 u_n+1 = u_n+2 = … = u_2n+1 = 1 (即，头 n+1 个是零，而后 n+1是1)， n 次B-样条基函数是什么？

因为每个 u 在 [0,1] = [u_n, u_n+1]上， n 次非零基函数是： N_0,n(u), N_1,n(u), …, N_n,n(u)。回忆B-样条基函数的定义如下：

因为仅有的 0次非零基函数是N_n,0(u)，下标 i 只能在0 和n之间。因此， u_i是零而 u_i+n和u_i+n+1是1。结果，上边第二个等式可重写为如下式：

如果我们进行如前页讨论的那样以一个三角形式计算N_0,n(u), N_1,n(u), …, N_n,n(u) ，那么我们有下图。在该图中，每个东北(resp., 东南)边界箭头意味这乘1-u (resp., u)到在箭头尾部的项上。注意计算中有n 步骤，每步获得每列。因此， N_n,0(u) 对 N_0,n(u)的贡献是 (1-u)ⁿ, 而N_n,0(u)的贡献对N_n,n(u)是uⁿ.

现在，考虑一般项 N_i,n(u)的计算。 N_n,0(u) 对N_i,n(u)计算的贡献可用"path-counting"技术确定，其用来展示de Casteljau算法的正确以及贝塞尔曲线的更高次导数的计算中。每个从 N_n,0(u) 到 N_i,n(u) 遇n 箭头其中i 是东南边界而 n-i 是东北边界。那些东北(resp., 东南)边界箭头意味着对尾部的项乘以1-u (resp., u)。因此，N_n,0(u) 对 N_i,n(u)的贡献沿着一个单path是 uⁱ(1-u)^n-i 。从 N_n,0(u) 到 N_i,n(u)的paths总数是C(n,i)。更准确地，paths的数目等于放置 i 个东南边界箭头在n 个位置不同方法的数目。剩余 n-i 位置用东北边界箭头充满。这 n 个箭头准确地描述了从 N_n,0(u) 到 N_i,n(u)的一个单路径（path）。因为每个路径（path）贡献 uⁱ(1-u)^n-i 给计算且因为有C(n,i) 个路径，N_n,0(u) 对 N_i,n(u)的总贡献是

这就是 n次第i个贝塞尔基函数。因此，我们有下列结论：

对所有在 0和n范围内的 i ，如果头 (resp., 最后) n+1节点等于 0 (resp., 1), 那么n次第i个B-样条基函数与第i个贝塞尔基函数是一致的。因此贝塞尔基函数是B-样条基函数的特例，而贝塞尔曲线是B-样条曲线的特例。

译注：

本文翻译是“B-样条曲线（B-spline Curves）教程”中的一部分，其余翻译部分见“B-样条曲线（B-spline Curves）教程目录”。
“B-样条曲线（B-spline Curves）教程”是翻译自C.-K. Shene博士的CS3621 Introduction to Computing with Geometry Notes的第6部分“B-spline Curves”。
本文原文地址：B-spline Curves: A Special Case 。
本文首发“博士数学家园 ”