B-样条曲线：移动控制点

B-spline Curves: Moving Control Points

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移动控制点是改变B-样条曲线形状的最明显的方法。在前面页讨论的局部修改方案说明了修改控制点 P_i 的位置仅影响在区间[u_i, u_i+p+1)上的曲线 C(u) 。其中 p 是B-样条曲线的次数。实际上，形状的改变是在控制点被移动方向上的 t平移 。更准确地，如果控制点P_i向某个方向移动到一个新位置Q_i ，那么点C(u)，其中 u 在[u_i, u_i+p+1)上，会以相同方向从P_i 移动到 Q_i。 但是，移动的距离点与点之间是不同的。下图中，控制点 P₄ 从左图位置移到中图新位置最后到右图最终位置。可看到那些对应节点的点（小三角标记）也以相同方向移动。

让我们看些细节。假设C(u) 是一个给定的p 次B-样条曲线定义如下：

设控制点 P_i 被移动到一个新位置P_i + v. 。那么，新 p 次B-样条曲线 D(u)如下：

因此，新曲线D(u)是简单的原始曲线C(u)的和以及一个平移向量N_i,p(u)v。 因为 N_i,p(u)在区间 [u_i,u_i+p+1)上非零，如果u 不在该区间，这个“平移”项为零。因此，移动一个控制点仅影响给定曲线部分形状。 下面左曲线是个由13个控制点 control points (即， n = 12)和18个节点(即， m = 17)定义的4次 (即， p = 4)B-样条曲线 。这些18个节点都是简单的并定义了一个clamped曲线(即，u₀ = u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = 0 和 u₁₃ = u₁₄ = u₁₅ = u₁₆ = u₁₇ = 1)。剩余的节点定义了9个节点区间，因此如图所示有9个曲线段。这9个节点区间和曲线段命名如下：

现在让我们移动 P₆。结果显示在上面右图。如你们所看到的，曲线以同样方向移动。P₆ 的系数是 N_6,4(u), 其在[u₆, u₁₁)上非零。因此，移动 P₆ 影响曲线段3, 4, 5, 6 和7。曲线段1, 2, 8和9不受影响。 

来自强凸包性质的有用结果

1. 强制曲线段变成直线段：让p+1 相邻控制点共线。

   如果 u 位于节点区间 [u_i,u_i+1)上，那么C(u) 位于由 p+1个控制点P_i, P_i-1, …, P_i-p+1, P_i-p定义的凸包内。因为这对所有在该区间的u 都成立，所以在该节点区间的曲线段完全位于该凸包内。如果所有这些 p+1 个控制点是共线的(即，在一条直线上)，凸包退化到线段，它所包含的曲线段也是如此。 结果，在节点区间 [u_i,u_i+1)上的曲线段变成了直线段。注意在这个情况下只有这个曲线段变成了直线段。其他曲线段仍然是非线性的。

    

   (a)	(b)	(c)
   (d)	(e)	(f)

   让我们来看一个例子。上面的图由 n = 15 (即，16个控制点), p = 3 (次数为3) 和m = 19 (即，20个节点)。注意头四个和最后四个节点是clamped。图 (a)是给定的B-样条曲线。 让我们使得P₉, P₈, P₇ 和P₆ 共线。因此，在 [u₉,u₁₀)上的曲线段位于由 P₉, P₈, P₇ 和P₆定义的凸包内。 因为这个凸包是直线段，所以曲线段也必须是直线段。记住头四个节点是clamped因此头三个节点区间不存在。因为[u₉,u₁₀)是第7个节点区间，第7段退化为直线段P₇P₈。这通过图 (b), (c) 和 (d)说明。

   但是，为什么在 [u₉,u₁₀)上的曲线段只退化到曲线段? 看图(b)。阴影部分区域是 u 刚要进入enters [u₉,u₁₀)前的凸包。这个凸包由控制点 P₈, P₇, P₆ 和 P₅定义，其还不是一条直线段。 一旦 u 进入[u₉,u₁₀)，曲线段退化  (图 (c)).在u 离开[u₉,u₁₀)的同时，出现了一个新的凸包(图(d))。

   图 (e) 有 P₅ 及其四个后继共线。该曲线包含多于一个直线段。 图 (f) 有 P₁₀ 和它的5个后继共线；但是，它被移动到P₈ 和 P₉之间的位置。这导致相应曲线段的部分成为一条直线（为什么？） 

    

2. 强制B-样条曲线经过一个控制点：让p个相邻控制点重合（identical ）。

   考虑控制点P_i。因为在节点区间 [u_i, u_i+1)上的曲线段完全位于由P_i, …, P_i-p+1,P_i-p定义的凸包内，如果我们使得前p 个控制点重合(即， P_i = P_i-1 = … = P_i-p+1)，凸包退化为一条直线段, P_i-pP_i 而曲线必经过P_i。

    

   

   上面左图的曲线是3次的。如果 P₅ 移到与 P₆重合，曲线也移动更接近 P₆ 但还没有经过它。这如中图所示。注意曲线段的数目没有因为这个移动而改变；但是 P₅ 附近的小三角标记移动到更接近 P₆。 如果 P₄ 被移到与P₆ = P₅ 重合，曲线经过P₆ 且对应于节点的点因为移动而与控制点P₄ 重合。

    

3. 强制B-样条曲线与控制折线的一边相切：让P_i-p, P_i-p+1 = P_i-p+2 = …. = P_i-1 = P_i 及P_i+1 共线。

   上面将 p 个相邻控制点重合。在那个控制点上，连续性是C⁰ 因为曲线有一个尖头（见上面右图）。 但是，一个B-样条曲线在简单节点上是 C^p-1 在其他空间是无限可微的，在边P_i-pP_i 上的控制点 P_i 上的曲线是C^p-1 连续的（退化控制点重新编号为i）而在边P_iP_i+1 上的控制点P_i 也是 C^p-1 连续的。因此，如果我们使得 P_i-p, P_i 和 P_i+1 共线，只要两个相邻曲线段在该节点上没有尖头，它们在 P_i是C^p-1 连续的。

    

   

   在上面图中，曲线的次数是 2。如果我们使得控制点2, 3, 4 和 5 共线而 3 和 4 重合，我们得到右图。共线保证了曲线段位于直线上而重合控制点强制 C^3-1 = C² 连续。

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