【XJTUSE计算机图形学】第三章几何造型技术(3)——B样条曲线与曲面

B样条曲线与曲面

Bezier曲线缺陷：

缺乏灵活性：一旦确定了多边形的顶点数，就确定了曲线的阶数；

控制性差：当顶点数较多，曲线的阶次将比较高，此时，特征多边形对曲线形状的控制将明显减弱；

不易修改：由曲线的方程可看出，其Bernstein基函数的值在开区间(0,1)内不为零。因此，所定义之曲线(0<t<1)在区间内的任何一点均要受到全部顶点的影响，这使得对曲线进行局部修改成为不可能。

B样条曲线：为克服Bezier曲线的缺陷，Gordon等人拓展了Bezier曲线，从外形设计的需求出发，希望新曲线易于进行局部修改、更逼近特征多边形、低阶次曲线

于是，用k阶B样条基函数替换了Bernstein基函数，构成了称之为B样条曲线的新型曲线。

B样条的递推定义与性质

基本概念

半开区间

[

]

[t_i,t_{i+1}]

$[t_{i}, t_{i + 1}]$ 是第i+1个节点区间；

集合T称为节点矢量；

重节点：如果一个节点ti出现r次 (即

−

t_i=t_{i+1}=…=t_{t+r-1},r>1

$t_{i} = t_{i + 1} = . . . = t_{t + r - 1}, r > 1$ ),ti 是重复度为r的多重节点

定义

(

)

P_i(i=0,1,…,n)

$P_{i} (i = 0, 1, . . ., n)$ 是控制多边形的顶点

(

)

(

)

N_{i,k}(t)(i=0,1,…,n)

$N_{i, k} (t) (i = 0, 1, . . ., n)$ 称为k阶(k-1次)B样条基函数

多种基函数的定义：

de Boor-Cox递推定义

第i个k阶（基函数度数）B-样条基函数

(

)

N_{i,k}(t)

$N_{i, k} (t)$

约定

\\frac{0}{0}=0

$\frac{0}{0} = 0$

通常称为de Boor-Cox递归公式；

如果次数为零(k= 1)，这些基函数都是阶梯函数。

特殊观察

1️⃣ 基函数

(

)

N_{i,k}(t)

$N_{i, k} (t)$ 在

[

)

[t_i,t_{i+k})

$[t_{i}, t_{i + k})$ 上非零；

2️⃣ 在任何一个节点区间

[

)

[t_i,t_{i+ 1})

$[t_{i}, t_{i + 1})$ , 最多有k个(k-1)次基函数非零：

−

(

)

−

(

)

(

)

N_{i-k+1,k}(t),N_{i-k+2,k}(t),…,N_{i,k}(t)

$N_{i - k + 1, k} (t), N_{i - k + 2, k} (t), . . ., N_{i, k} (t)$

性质

(

)

N_{i,k}(t)

$N_{i, k} (t)$ 是t的k阶多项式

1️⃣ 局部支撑性：

(

)

N_{i,k}(t)

$N_{i, k} (t)$ 是在

[

)

[t_i,t_{i+k})

$[t_{i}, t_{i + k})$ 上的非零多项式

2️⃣ 权性(单位分解 )

3️⃣ 微分公式

4️⃣ 非负性：对所有的i,k和t,

(

)

N_{i,k}(t)

$N_{i, k} (t)$ 是非负的

5️⃣ 重要结论

基函数

(

)

N_{i,k}(t)

$N_{i, k} (t)$ 是(k-1)次多项式的复合曲线，连接点在

[

)

[t_i,t_{i+k})

$[t_{i}, t_{i + k})$ 上的节点处；

在重复度r的节点处，基函数

(

)

N_{i,k}(t)

$N_{i, k} (t)$ 是

−

C^{k-r-1}

$C^{k - r - 1}$ 连续的；

如果节点数目是(m+1),函数的阶数是k,控制点的个数是(n+1)，则m=(n+k)，即节点数等于控制点数+阶数

❓ 五个控制顶点的三次B样条曲线由几个节点构成

5+4=9

注意阶数=次数+1

B样条曲线类型的划分

两个标准：首末节点是否重合和节点的分布情况。

1️⃣ 首末节点是否重合

开曲线：曲线不会与控制折线的第一边和最后一边接触；图1

闭曲线：第1个节点和最后1个节点是重复节点。

–Clamped：第一个节点和最后一个节点必须是重复度为k ；图2

–Closed：重复某些节点和控制点。图3

2️⃣ 节点的分布情况

假定控制多边形的顶点为

(

)

P_i(i=0,1,…n)

$P_{i} (i = 0, 1, . . . n)$ ，阶数为k（次数为k-1），则节点矢量为

[

]

T=[t_0,t_1,…,t_{n+k}]

$T = [t_{0}, t_{1}, . . ., t_{n + k}]$

均匀样条曲线

节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的B样条基

节点矢量为[0, 1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8, 1]

准均匀样条曲线

两端点的重复度为k,内部其它节点呈均匀分布，且重复度为1。

端点过特征多边形的端点

节点矢量为[0, 0, 0, 0，1/3，2/3， 1，1, 1, 1]

分段Bezier曲线

节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。

图中有7个控制顶点，n=6，阶数为4，因此节点数为6+4+1=11，节点矢量为

T

=

[

t

0

,

t

1

,

.

.

.

,

t

10

]

=

[

0

,

0

,

0

,

0

,

0.5

,

0.5

,

0.5

,

1

,

1

,

1

,

1

]

T=[t_0,t_1,…,t_{10}]=[0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1]

$T = [t_{0}, t_{1}, . . ., t_{10}] = [0, 0, 0, 0, 0.5, 0.5, 0.5, 1, 1, 1, 1]$

一般的非均匀B样条曲线

B样条曲线的性质

局部性

1️⃣ k阶B样条曲线上参数为

∈

[

]

t\\in [t_i,t_{i+1}]

$t \in [t_{i}, t_{i + 1}]$ 的一点至多与k个控制顶点

(

−

)

P_j(j=i-k+1,…i)

$P_{j} (j = i - k + 1, . . . i)$ 有关，与其它控制顶点无关；

2️⃣

P_i

$P_{i}$ 只影响在区间

[

)

[t_i,t_{i+k})

$[t_{i}, t_{i + k})$ 上的曲线P(t)；

基函数

N

i

,

k

(

t

)

N_{i,k}(t)

$N_{i, k} (t)$ 在

[

t

i

,

t

i

+

k

)

[t_i,t_{i+k})

$[t_{i}, t_{i + k})$ 上非零；

3️⃣ 基函数

(

)

N_{i,k}(t)

$N_{i, k} (t)$ 在区间

[

)

[t_i,t_{i+k})

$[t_{i}, t_{i + k})$ 上都是次数不高于(k-1)的多项式。

❓ 改变一条以P0,P1,…,P9为控制顶点的4阶B样条曲线的一个顶点P5，有几段曲线的形状会改变?

P5影响在区间

[

t

5

,

t

9

)

∈

[

t

3

,

t

10

]

[t5,t9)\\in[t3,t10]

$[t 5, t 9) \in [t 3, t 10]$ 上的曲线，影响了4段曲线[t5,t6)、[t6,t7)、[t7,t8)、[t8,t9)

注意看定义域,可能有陷阱

开曲线定义域

有k个基函数的支持，定义域是

[

−

]

[t_{k-1},t_{n+1}]

$[t_{k - 1}, t_{n + 1}]$ (k-1是次数，n+1是控制顶点数)

举例

使用节点向量T={0,0.25,0.5,0.75,1},如果基函数是2阶的(即k=2),那么有三个基函数N0,2(t),N1,2(t)和N2,2(t)；

第一个和最后一个节点区间只有一个非零基函数，而第二和第三节点区间(即[0.25,0.5)和[0.5,0.75))有两个非零基函数。

节点区间[0,0.25)和[0.75,1)没有基函数的“完全支持”。

一般来说，区间

[

−

)

[t_0,t_{k-1})

$[t_{0}, t_{k - 1})$ 和

[

]

[t_{n+1},u_{n+k}]

$[t_{n + 1}, u_{n + k}]$ 不会有基函数的“完全支持”，当B样条曲线是开曲线时被忽略。

凸包性

贝塞尔曲线是B样条曲线的特例

分段参数多项式

P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参数t的多项式，因此P(t)是参数t的次数不高于k-1的分段多项式。

连续性

导数公式

变差缩减性

仿射不变性

即在仿射变换下，P(t)的表达式具有形式不变性。

如果一个仿射变换应用于B样条曲线，得到的结果可以从它的控制点的仿射像构建得到。

几何不变性

由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，B样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。

直线保持性

控制多边形退化为一条直线时曲线也退化为一条直线

习题

1️⃣ 五个控制顶点的三次B样条曲线由几个节点构成

5+4=9

2️⃣ 一条以P0,P1,P2,P3,P4为控制顶点的4阶(三次)B样条曲线，其节点向量为{0,0,0,1,2,3,4,4, 4},则其定义域为?

3️⃣ 由五个控制顶点所决定的3次B样条曲线，由几段3次B样条曲线段光滑连接而成？

定义域是

[

t

3

,

t

5

]

[t3,t5]

$[t 3, t 5]$ ，有两段连接

4️⃣ 改变一条以P0,P1,…,P9为控制顶点的4阶B样条曲线的一个顶点P5，有几段曲线的形状会改变?

P5影响在区间

[

t

5

,

t

9

)

∈

[

t

3

,

t

10

]

[t5,t9)\\in[t3,t10]

$[t 5, t 9) \in [t 3, t 10]$ 上的曲线，影响了4段曲线[t5,t6)、[t6,t7)、[t7,t8)、[t8,t9)

De Door算法（了解）

de Boor 算法的递推关系如图

三次B样条的Bezier表示（了解）

节点插入算法

进一步改善B样条曲线的局部性质，提高曲线的形状控制的灵活性，可实现对曲线的分割等

给定一条k阶B样条曲线$P(t)=\\underset{i=0}{\\overset{n}{\\sum}}P_i N_{i,k}(t)

，

样

条

基

由

节

点

矢

量

，B样条基由节点矢量

$， B 样条基由节点矢量$ T={[t_0,t_1,…,t_{n+k}]}$完全决定

插入一个节点

在定义域某个节点区间

[

t

i

,

t

i

+

1

]

[t_i,t_{i+1}]

$[t_{i}, t_{i + 1}]$ 内插入一个节点t，得到新的节点矢量：

T

1

=

[

t

0

,

t

1

,

.

.

.

,

t

i

,

t

,

t

i

+

1

,

.

.

.

,

t

n

+

k

]

T^1={[t_0,t_1,…,t_i,t,t_{i+1},…,t_{n+k}]}

$T^{1} = [t_{0}, t_{1}, . . ., t_{i}, t, t_{i + 1}, . . ., t_{n + k}]$

重新编号成为：

T

1

=

[

t

0

1

,

t

1

1

,

.

.

.

,

t

i

1

,

t

i

+

1

1

,

t

i

+

2

1

,

.

.

.

,

t

n

+

k

+

1

1

]

T^1={[t_0^1,t_1^1,…,t_i^1,t_{i+1}^1,t_{i+2}^1,…,t_{n+k+1}^1]}

$T^{1} = [t_{01}, t_{11}, . . ., t_{i 1}, t_{i + 1 1}, t_{i + 2 1}, . . ., t_{n + k + 1 1}]$