1 Introduction

曲线上有一些特殊点会影响曲线的连续性，如重点（Multiple Point）、尖点（Cusp Point）、拐点（Inflection Point）等。一般称曲线上凸弧和凹弧的分界点称为拐点。

图1 曲线极值点和拐点

在高等数学中[1]给出了曲线拐点的定义及判别方法。曲线上的拐点数学定义很简单，一般的判断方法是计算曲线上二阶导为0处左右曲线两侧曲率的符号，若符号不同，则为拐点。但是给定任意一条曲线怎么用程序计算出拐点呢？

2 拐点 Inflection Point

OCCT中在包Geom2dLProp提供二维曲线局部属性分析功能，其中类Geom2dLProp_CurAndInf2d可以计算二维曲线的极值点Local extremas和拐点Inflection。这些点分以下三种类型：

//! Identifies the type of a particular point on a curve:
//! - LProp_Inflection: a point of inflection
//! - LProp_MinCur: a minimum of curvature
//! - LProp_MaxCur: a maximum of curvature.
enum LProp_CIType
{
LProp_Inflection,
LProp_MinCur,
LProp_MaxCur
};

其中计算拐点函数代码如下所示：

void Geom2dLProp_NumericCurInf2d::PerformInf(const Handle(Geom2d_Curve)& C,      
                                             const Standard_Real UMin,
                                             const Standard_Real UMax,
                                             LProp_CurAndInf& Result)
{
  isDone = Standard_True;
  Geom2dLProp_FuncCurNul    F(C);
  Standard_Real    EpsX = 1.e-6;
  Standard_Real    EpsF = 1.e-6;
  Standard_Integer NbSamples = 30;

  math_FunctionRoots SolRoot (F,UMin,UMax,NbSamples,EpsX,EpsF,EpsX);

  if (SolRoot.IsDone()) {
    for (Standard_Integer j = 1; j       Result.AddInflection(SolRoot.Value(j));
    }
  }
  else {
    isDone = Standard_False;
  }  
}

既然拐点是一个数学概念，那么就是通过数学的方式来计算。首先建立曲线拐点方程F，再使用类math_FunctionRoots对方程进行求解，从而得到拐点。其中关键是拐点方程Geom2dLProp_FuncCurNul的建立。因为方程需要计算一阶数，相关代码如下：

//======================================================================
//function : Values
// purpose : F = (V1^V2.Z)/||V1||*||V2||
//======================================================================
Standard_Boolean Geom2dLProp_FuncCurNul::Values (const Standard_Real  X,
              Standard_Real& F,
              Standard_Real& D)
{
  gp_Pnt2d P1;
  gp_Vec2d V1,V2,V3;
  Geom2dLProp_Curve2dTool::D3(theCurve,X,P1,V1,V2,V3);
  Standard_Real CP1  = V1.Crossed(V2);
  Standard_Real CP2  = V1.Crossed(V3);
  Standard_Real V1V2 = V1.Dot(V2);
  Standard_Real V2V3 = V2.Dot(V3);
  Standard_Real NV1  = V1.Magnitude();
  Standard_Real NV2  = V2.Magnitude();

  F = 0. ;
  D = 0. ;

/*
  if (Abs(CP1)     return Standard_True;
  } else */

  if (NV2 1.e-4) {
    return Standard_True;
  } else if (NV1*NV2     return Standard_False;
  } else {
    F   = CP1/(NV1*NV2);
    D   = (CP2 - CP1*V1V2/(NV1*NV1) - CP1*V2V3/(NV2*NV2))/(NV1*NV2);
  }
  return Standard_True;
  
}