用偏微分方程构造过渡曲面-卡核

Abstract. 为了探索更有效的曲面造型方法，英国Leeds大学Bloor等人研究了用偏微分方程（Partial Differential Equation, 简称PDE）构造自由曲面的方法，并将其引入CAD/CAM领域，他们曾用PDE方法构造了过渡曲面、自由曲面和N边域曲面，还研究了该法在功能曲面设计中的应用。理论上飞机外形、船体和螺旋桨叶片的曲面都可以用PDE方法构造。本文主要介绍如何用PDE构造过渡曲面。

Key Words. PDE, 过渡曲面, Blend Surface

1 Introduction

PDE方法使用一组椭圆偏微分方程构造曲面，曲面的形状由所选择的PDE和边界条件确定。用PDE方法构造曲面的特点如下：

1) 构造曲面简单易行，给定曲面的边界及其上的跨界导矢，即可生成一张光滑的曲面；

2) 曲面由其参数的超越函数表示而非简单多项式，故所得曲面自然光顺；

3) 除曲面边界和跨界导矢外，尚可调整方程中的一个物理参数来控制曲面的形状；

4) 在功能曲面设计方面有很大潜力；

电，磁，光、热、流动、振动等自然现象最终都可以用偏微分方程PDE来描述。如电磁相关的麦克斯韦方程，流体的Navier-Stokes方程，热传导的Laplace方程等等都是PDE。对PDE进行求解，就可以在电脑中模拟这些自然现象。掌握PDE就可以在很多行业中应用，如3D游戏中的一些光影、流水等特效实现；工业上更精确的多物理场仿真等。

PDE主要分为三类：双曲型、抛物型、椭圆型。PDE需要加上一定的条件（定解条件）才能求解，求PDE在定解条件下解的问题称为定解问题。PDE定解问题分三类：初值问题，边值问题和混合问题。对于描述稳恒过程的Laplace方程或Poisson方程，与时间无关，就不需要考虑初始条件，只需要边界条件加上方程构成定解问题，称为边值问题。由初始条件和方程构成定解问题称为初值问题，也称Cauchy问题；既有边界条件又有初始条件的定解问题，称为混合问题。在几何造型中主要考虑椭圆型PDE的边值问题。

本文主要使用PDE构造过渡曲面，通过将过渡面显示出来加深对PDE的理解。

2 过渡曲面

过渡曲面设计在CAD/CAM中具有重要地位，其目的是在相关曲面之间生成光滑的过渡曲面。Rossignai和Requicha把过渡曲面分为四类：由函数约束支配的过渡曲面、艺术过渡曲面、光滑过渡曲面和圆角倒角过渡曲面。过渡曲面设计有多种方法，如：Tiller提出用的理B样条表示曲面，Woodward用B样条及截面线表示自由曲面，还有滚球法Rolling Ball等。数学上过渡曲面的构造可以看作如下问题：给定边界的有限区域求在该区域上满足给定边界条件的曲面。PDE方法在几何造型中的最初应用就是构造过渡曲面。数学上过渡曲面可以由椭圆PDE的边值问题得到。以一阶连续的过渡曲面为例，只要给定边界曲线和一阶导矢，就可以构造出一张光滑的过渡曲面。与其他方法相比，PDE方法比较简单，而且生成的曲面光滑。

考虑最简单的情况，即矢量函数S(u,v)满足二阶偏微分方程，即Laplace方程：