0. 前言

什么叫做壁面函数，为什么引入壁面函数的概念??

因为流体无论流动，还是传热、传质都存在边界层。而之所以有壁面函数这个东西，根源就在于边界层理论。

1. 边界层理论

大家都知道什么是边界层理论，我们想要理解壁面函数，就必须搞清楚边界层理论的产生对数值计算带来了什么影响？？？。

边界层分为速度边界层、热边界层和浓度边界层。

速度边界层：当具有粘性的流体，经过壁面附近，流速下降，直接贴附于壁面的流体静止不动的一个薄层。

热边界层：指黏性流体流动壁面附近形成的以温度剧变为特征的流体薄层。

热边界层厚度：

其中δ表示速度边界层的厚度，δt表示热边界层的厚度

浓度边界层：某组分在流体中的浓度与固体壁面的浓度存在差异，则在壁面垂直方向上的流体内部将存在浓度梯度的流体薄层。

浓度边界层厚度

其中δ表示速度边界层的厚度，δc表示热边界层的厚度

2. 近壁面细节捕获

这三种边界层都有一个共同的特点，那就是某个物理量A发生剧变，在边界层内产生非常大的梯度，且越靠近边界层梯度越大。而在边界层外，物理量A与主流中的物理量A值几乎相等，不存在梯度。

为了获得更加精确的计算结果，必须对边界层内的物理量梯度进行非常细节的捕获，如果捕获呢？？我们首先冒出来的想法—网格加密

边界层网格加密是一个方式，将边界层网格画的非常密，越靠近边界层网格越密，这样可以捕获更多的细节，同时计算也会更加准确。

但是边界层网格加密存在两个缺点：第一，网格数量大大增加，为了获取更多的细节，需要不断细化网格，计算时间大大加长；

第二，网格质量变差，边界层网格的加密，导致网格的纵横比非常大，甚至达到上百，高纵横比可能会导致计算难以收敛，甚至发散。

3. 湍流边界层的壁面律

有没有一种方法，既不需要划分更多的网格，同时还能捕获更多的边界层细节呢？？

于是乎，大佬们想出了这样一种办法。既然边界层内的物理量细节难以捕获，那么直接通过实验获得边界层内这些物理量的变化规律，然后将这些规律直接应用到数值计算不就可以了吗？？实际上也确实是这样做的。

通过对边界层的研究，将边界层分为了三个区域，分别为粘性底层(0<y+<5)、缓冲层(5<y+<30)和完全湍流层(y+>30)。

这里用两个无量纲物理量u+和y+来定义边界层内的规律更具有普遍性。
 

u+表示无量纲速度，u表示边界层内流体速度，τw为壁面切应力

y+表示到壁面处的无量纲距离，y表示边界层某点到壁面的距离，v表示流体运动粘度m2/s。

对边界层这三个区域进行了大量的实验，结果表面这三个区域内u+和y+的规律不同。对于粘性底层(0<y+<5)，u+与y+近似呈线性关系；对于完全湍流层，u+与y+近似呈对数关系，被称为对数律；对于缓冲层，线性关系曲线和对数律曲线在缓冲层有交点，交点所对应的y+值在11附近。

4. 壁面函数

4.1 壁面函数的概念

既然已经知道边界层内的规律了，那么就不必在边界层内画很密的网格，而直接使用实验规律来计算边界层内的流体流动、传热传质等问题。

Fluent软件提供了一种被称为壁面函数的方式来实现上述的思想。壁面函数是一种半经验公式，被用来连接壁面和完全湍流区域之间的粘性影响区域。

壁面函数以对数律为基础来计算边界层规律，其忽视了粘性底层和缓冲层。因此我们画边界层网格时不能画出粘性底层和缓冲层，而要直接画到完全湍流层。

也就是说使用壁面函数，我们不但不需要在边界层内细化网格，反而必须要保证第一层网格处于对数律能够应用的范围。

我们通常将即y+=15处作为可以使用对数律的分界线，所以第一层网格要保证y+>15。第一层网格大小可以由下式推导：

Fluent使用另一种无量纲速度u*和无量纲距离y*来描述边界层内的规律

u+，y+与U*，y*在湍流边界层中近似相等，我们应用时直接用u+，y+即可。

注：使用壁面函数确实简化了边界层的网格，但是也忽略了粘性底层和缓冲层，因此壁面函数的方法适用于粘性底层数据不重要的求解。

如果我们想要研究的就是粘性底层的数据，如边界层分离现象，那么壁面函数的方法很不适用。Fluent提供了另外一种方式用于求解粘性底层。

4.2 y+的确定

为了留出一定的余量，保证计算结果的准确性，Fluent要求y+必须大于15，如果y+小于15，Fluent就无法保证求解的准确性。y+的下限为15，y+的上限则取决于雷诺数。

对于高雷诺数：如轮船，飞机等，对数律范围扩大，y+上限可以取到几千，减少网格数量

对于低雷诺数：如涡轮叶片等，y+上限可以取到100

对于很低的雷诺数：对数律范围很窄，为了保证y+>15，可能会使边界层网格层数很少，计算结果变差，因此不建议使用壁面函数。

注：相较于纠结y+的选取，边界层的网格层数足够时，能得到更精确的数值结果。

对于非结构网格，边界层网格层数在10-20之间，对于边界层Prism棱柱层网格，要保证边界层内至少15个节点。

4.3 边界层厚度

想要在边界层内画足够数量的网格，需要知道边界层的厚度。如何得到边界层厚度呢？

Fluent提供了一种估算方法。当我们大致划分网格进行计算得到一个求解结果时，可以在后处理查看turbulent viscosity湍流粘度物理量。

Results-Plots-XY plot

在垂直壁面方向画出turbulent viscosity沿垂直壁面方向的曲线图，turbulent viscosity的最大值出现在边界层的中间，最大值出现位置的2倍即为边界层的厚度。

比如下图为文章后源文件案例的湍流粘度，在x=0.01m处达到最大值，可以认为边界层厚度为0.02m。

对于某些特殊工况，边界层厚度也可以由理论公式推导出来

5. 估算边界层第一层网格

最后我们回到最关心的问题，边界层第一层网格如何确定？
当我们在Fluent中选择壁面函数时，必须要保证y+>15。

由此可一步步反推第一层网格高度y的值。式中ρ为流体密度，U为流体主流速度，U∞为流体动力粘度，d为特征长度。

估算雷诺数Re

估算壁面摩擦系数

估算壁面剪切应力

估算

计算边界层第一层网格

以上流程化的东西都可以通过编程实现

进行了一定的验证后发现，似乎是由于Fluent基于有限体积法，因此上述求出的第一层网格高度y实际上只是网格中心到壁面的距离，真正的第一层网格高度应该为此值的2倍。（自己理解，欢迎私信批评指正）下面的程序已进行修正。