快速跳转：
1、矩阵变换原理Transform(旋转、位移、缩放、正交投影、透视投影)
2、光栅化(反走样、傅里叶变换、卷积)
3、着色计算(深度缓存、着色模型、着色频率)
4、纹理映射(重心坐标插值、透视投影矫正、双线性插值MipMap、环境光遮蔽AO)
5、几何(距离函数SDF、点云、贝塞尔曲线、曲面细分、曲面简化)
6、阴影映射(Shadow Mapping)
7、光线追踪原理(线面求交、预处理光追加速)
8、辐射度量学与光线追踪
 9、蒙特卡洛路径追踪(Path Tracing)(光源采样)
10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)
11、渲染前沿技术介绍(双向路径追踪BDPT、MLT、光子映射、实时辐射度、外观建模)
12、相机（视场、曝光、光圈(F-Stop)、薄棱镜近似、CoC、景深）
13、光场、颜色与感知
 14、动画（物理模拟、质点弹簧系统、粒子系统、运动学、动作捕捉、欧拉方法）

1 动画分类

1.1 关键帧动画（Keyframe）

在关键的位置上制作一帧画面，而中间的过程采用自动生成的方式形成动画
自动生成可以用线性插值的方式，但是很生硬。
用splines来平滑过度或者有必要的突变则会有更好的动画效果

1.2 物理模拟（Physical Simulation）

已知物体质量，给物体应用一个力，则可以算出它的加速度，再引入时间，就能算当前时刻速度、位置等一系列信息，然后就可以动态的更新下一时刻的信息从而产生动画了。
在这里插入图片描述
物理仿真/模拟背后的核心思想就是构建物理模型，分析受力，从而算出某时刻的加速度、速度、位置等信息。
只要能够正确建立物理模型，一定可以得出正确的物理模拟结果。

1.3 质点弹簧系统（Mass Spring System）

在这里插入图片描述

质点弹簧系统： 一系列相互连接的质点和弹簧

简单、理想化的弹簧（帮助理解）

没有长度
弹簧拉多长就产生多大的力
受力计算方法如下，只有将质点向内拉的力，ks 为弹性系数。

正常的有长度的弹簧

弹簧被拉长会产生向内收缩的力，被压短则产生外推力
弹簧常态长度为 l，受力大小依然形变大小成正比，计算方式如下
存在的问题：永远震荡不会停止，动能与势能不停转变，没有损耗。

（1）简单的引入阻尼（错误方法）

介绍如下记号，打点表示对时间 t 求导，位移x求导1次是速度，求导2次为加速度。（简单物理）
简单的阻尼表示：与速度反向相反，在数学中的表示如下，其中k_d 为阻尼系数，
引入简单阻尼产生的bug：他会减慢一切运动。
（理解：我们引入阻尼真正的目的是让震荡的弹簧不会永远震荡下去，会因为阻尼的存在而停下。目前引入的阻尼确实能达到目的，但还会阻止一个处于常态的弹簧的一切非震荡运动。比如弹簧两端相对静止，但是处于自由落体状态，都有向下的速度，则此阻尼力会使他落得越来越慢，这不正常）

（2）引入弹簧内部阻尼（正确方法）

限制阻尼只发生在弹簧内部，只作用于因弹簧形变引起的运动。
未达目的，必须引入相对运动，公式更改如下（注意这里算阻尼跟伸缩长度没关系）

参数	说明
k_d	阻尼系数
	单位向量，表方向，a指向b
	左边是单位向量ab，右边是b点相对于a的速度向量，点乘表示把速度投影到ab方向上（注意是标量了！），投影目的是：防止两端相对静止，一个球绕另一个球做圆周运动而出现的阻尼。

弹簧结构： 不同弹簧的组合，会有不同的性质，可以模拟不同的物品。

布料模拟推导过程

序号	结构	说明
0		不能模拟布料，因为它不具备布的特性（不能抵抗切力、不能抵抗对折力（布料多少有点抵抗对折的能力，因为它不能像纸一样被折叠））
1		改进了一点，虽然能抵抗图示对角线的切力，但是存在各向异性。依然不能抵抗折叠。
2		可以抵抗切力，有各向同性，不抗对折
3		红色skip connection，注意红线的力比较小。现在可以比较好的模拟布料
效果图：（本来是动画(⊙o⊙)…意思意思就行了）

另外有限元方法也是另一种不同于弹簧的模拟方式，这里不涉及

1.4 粒子系统（Particle Systems）

建模一堆微小粒子，定义每个粒子会受到的力(粒子之间的力、来自外部的力、碰撞等)
在游戏和图形学中非常流行，很好理解、实现

最简单的实现算法

动画的每一帧
- 创建新的粒子（如果需要）
- 计算每个粒子的受力
- 更新每个粒子的位置和速度
- 结束某些粒子生命（如果需要）
- 渲染

粒子系统较为简单不放图片了，嗯。。各种游戏引擎里面的粒子系统大家接触得很多了，如UE4里的Niagara系统中一个发射器就用类似上面这种算法从上到下进行计算的。

1.5 正向运动学（Forward Kinematics）

(1)骨骼动画
骨骼系统

拓扑结构
关节相互的几何联系
树状结构

关节类型

Pin（滑车关节）：平面内旋转
Ball（球窝关节）：一部分空间内旋转
Prismatic joint（导轨关节）：允许平移

例：由两部分骨骼构成的2D的手臂
第一部分旋转θ₁，第二部分旋转θ₂，问端点p的位置在哪？

计算方法非常简单，说明只要定义好骨骼连接方式，任何时刻只要知道角度，就能算出尖端p应该停在哪里

运动学

优点：控制方便、实现非常直接
缺点：艺术家们不喜欢这种方式的动画创作

1.6 逆运动学（Inverse Kinematics）

正向运动学：通过骨骼旋转角度计算尖端位置
逆向运动学：通过控制尖端位置，反算出应该旋转多少
在这里插入图片描述
例：依然是最简单的2部分组成的手臂
知道p点位置，反算骨骼角度

逆运动学存在的问题

解并不唯一，两种不同的角度组合方式都能让p处于目标位置
并不是一定有解，即会有无解的情况，如下图尖端活动范围有限

优化方式有很多，这里略略略略略略略…

1.7 动画绑定（Rigging）

rigging是一种对角色更高层次的控制，允许更快速且直观的调整姿势、表情等

皮影戏就有点这个味道，但是提线木偶对表情、动作的控制更贴切一些
在角色身体、脸部等位置创造一系列控制点，艺术家通过调整控制点的位置，带动脸部其他从点移动，从而实现表情变化，动作变化等。
缺点：需要艺术能力也需要技术，全手工制作费时费力费钱。

Blend Shapes：直接在两个不同关键帧之间做插值，注意是对其表面的控制点做插值

1.8 动作捕捉（Motion capture）

在真人身上放置许多控制点，在不同时刻对人进行拍照，记录控制点的位置，同步到对应的虚拟人物上。
大鲨鱼

优点

快速获得大量真实数据
非常真实
缺点
昂贵、准备工作麻烦
捕捉的动画跟预期艺术需要不太符合，需要调整
控制点被遮挡问题

众多动捕设备中最常用的还是光学动捕设备

最重要的被遮挡问题，可以通过增加摄像机等方法避免
得到的数据是每个控制点在三维空间中的运动数据

阿凡达面部动捕
在这里插入图片描述

1.9 动画电影生产线（Pipeline）

总之费钱、费艺术家
在这里插入图片描述

2 单粒子模拟（Single Particle Simulation）

学习单个粒子的运动，之后再推广到多粒子系统

假设粒子的运动由速度矢量场决定，速度场是关于位置和时间的函数：v(x, t)
速度场：定义质点在任何时刻在场中任何位置的速度。给个位置和时间，就能知道速度
如下图，箭头方向是速度方向，曲线是粒子在这个速度场中的运动轨迹（粒子0时刻位置知道，以后每个时刻速度都根据速度场进行变化，由于速度变化，位置也会跟随时间产生变化，从而形成的轨迹）

常微分方程
已知速度，建立方程，解常微分方程就可以得到位置量
在这里插入图片描述

2.1 欧拉方法（Euler Method）

a.k.a 前向欧拉、a.k.a 显式欧拉

简单迭代方法，用上一时刻的信息推导这一时刻的信息
很常用、非常不准确、非常不稳定

(1) 已知 t 时刻的位置和速度，求下一时刻 t + Δt 的位置（注意右上角的角标仅表示时刻信息）
在这里插入图片描述
(2) 已知 t 时刻的速度和加速度，求下一时刻 t + Δt 的速度

（1）欧拉方法的误差

如果采用较大的Δt，误差会很大，并且误差会积累
可以通过缩小Δt来控制误差

（2）欧拉方法的不稳定性

与误差无关，不管取多小的时间差，最后的结果都会和正确结果相差无限远。
假设有一个圆形速度场，速度一直是垂直于直径的，按理来说粒子在这里会一直做圆周运动不会飞出去，但是用欧拉方法，不管选择多小的步长Δt，粒子都会飞出去
假设如下速度场，粒子初始点在下方，会被下方速度场推到右上方，又被上方的速度场推向右下方，如此交替往复。
但是这个速度场，这样的粒子初始位置，正确的路径应该是沿着速度场，缓慢向中间靠拢，最后收敛于中间。