1 数学建模的任务分配

（1）数学建模三大块：建模+编程+写作
（2）模型讲解
• 简单例子
• 写作训练

2 简介

层次分析法（The analytic hierarchy process 简称AHP）建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现得更优秀）
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化为若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大的提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较但方法确定决策方案相对重要度但总排序。整个过程体现来人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服来其他方法回避决策者主观判断的缺点。

3 模型介绍

3.1 评价类问题

高考毕业了，小明选择去哪个学校
思考问题的思路如下：
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3.2 拿到建模问题

优先在知网（万方、百度学术、谷歌学术）上搜一下相关文献
如果没有找到相关文献，则和小组成员来场头脑风暴+在平台上搜索别人或者专家的看法。

3.3 推荐搜索网站

虫部落-快搜
优先级：
• 谷歌搜索
• 微信搜索
• 知乎搜索
例如本题我们可以搜索关键字：
旅游选择因素、根据什么因素来选择旅游景点、旅游景点评价指标。

3.4 确定好指标

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3.5 确定指标权重

（1）采用分而治之的思想

问题：一次性考虑五个指标之间的关系，往往考虑不周
解决方法：两两指标进行比较，最终根据两两比较的结果进行推算权重。

（2）分而治之的思想

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（3）得到判断矩阵

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（4）再对每个指标进行填写判断矩阵

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（5）解决判断矩阵中不一致现象

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• 先介绍一下什么叫一致矩阵
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• 一致矩阵特点：各行和各列成倍数关系
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• 一致矩阵的定义
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• 一致性检验
原理：检验我们构造的矩阵和一致性矩阵是否有太大的差别
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• 一致性检验的步骤
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如果一致性检验大于0.1，那就需要修正矩阵。
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• 两个小问题
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• 计算一致矩阵的权重
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（6）计算判断矩阵的权重

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方法一：算术平均化求权重
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• 算术平均法求权重的步骤：
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• 步骤的数学表示（可放到论文中）
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方法二：几何平均法
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方法三：特征值法求权重
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• 将计算结果填入权重表（特征值法最常用）
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• 代码实现求权重矩阵

%层次分析代码
disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
A=input('A=');
【n,n】=size(A);
x=ones(n,100);
y=ones(n,100);
m=zeros(1,100);
m(1)=max(x(:,1));
y(:,1)=x(:,1);
x(:,2)=A*y(:,1);
m(2)=max(x(:,2));
y(:,2)=x(:,2)/m(2);
p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
while k>p
i=i+1;
x(:,i)=A*y(:,i-1);
m(i)=max(x(:,i));
y(:,i)=x(:,i)/m(i);
k=abs(m(i)-m(i-1));
end
a=sum(y(:,i));
w=y(:,i)/a;
t=m(i);
disp('权向量');disp(w);
disp('最大特征值');disp(t);
%以下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=【0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59】;
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
disp('此矩阵的一致性可以接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else
disp('此矩阵的一致性不可以接受!');
end

（7）Excel可以方便计算矩阵权重

F4可以锁定单元格，往后拖动计算公式，那锁定的那个单元格不会变。
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4 层次分析法完整建模过程

4.1 第一步-建立层次结构图

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生成层次结构图方法
方法一：PPT的SmartArt来生成层次结构图
方法二：专业画图软件亿图图示(或processon)
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4.2 第二步-构造判断矩阵

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因为评价矩阵有主观性（能搜资料，参考专家的就参考专家的，没有也不要乱写），在论文撰写时，可以直接给出权重矩阵。例如别人的优秀论文
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4.3 第三步-计算判断矩阵相对权重

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4.4 第四步-计算合成权重排序

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5 层次分析法的局限性

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6 模型拓展

（1）层次分析法还适用于最后一层是1对2（这里的2表示大于1小于方案层所有的方案数量），但不是上面举例中1对3（3表示方案层中所有方案数量）
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（2）还适用于一个准则对应自己的多个方案。
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7 代码实现层次分析法

ccfx_Learn.m

%% 注意：在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。
%% 在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。
%% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
%% 而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。
%% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。
%% 输入判断矩阵
clear;clc
disp('请输入判断矩阵A： ')
% A = input('判断矩阵A=')
A =[1 1 4 1/3 3;
 1 1 4 1/3 3;
 1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 3 3 3 1 3;
 1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以写成多行:
[1 1 4 1/3 3;
 1 1 4 1/3 3;
 1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 3 3 3 1 3;
 1/3 1/3 2 1/3 1]
% 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。
%% 方法1：算术平均法求权重
% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)
[n,n] = size(A)  % 也可以写成n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)   %repeat matrix的缩写
% 另外一种替代的方法如下：
    SUM_A = [];
    for i = 1:n   %循环哦，这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次
        SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
    end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
% 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)
% 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量
% 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）
%% 方法2：几何平均法求权重
% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加  dim = 2 维度是行
% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作，因此要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方
% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
%% 方法3：特征值法求权重
% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A)    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。
% 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。
%% 计算一致性比例CR
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
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