计算几何05_B样条曲线

05356201

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首先我们应该来了解一下为什么要有B样条曲线，主要原因是因为Bezier曲线的不足：

  • 1.确定了控制多边形的顶点个数，也就确定了曲线的次数；
  • 2.控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越高，逼进程度越差；
  • 3.曲线不能局部修改，调整某一控制点将影响到整条曲线，原因是伯恩斯坦基函数在整个[0,1]区间内有支撑，所以曲线在区间内任何一点的值都将受到全部顶点的影响，调整任何控制点的位置，将会引起整条曲线的改变；
  • 4.Bezier曲线的拼接比较复杂。

为了保留Bezier方法的优点，仍采用控制顶点定义曲线。改用B样条基函数代替伯恩斯坦基函数。舍恩伯格指出，B样条具有局部支撑性质。B样条基函数是多项式样条空间具有最小支撑的一组基函数，故也被称之为基本样条（Basis Spline），简称B样条（B-Spline）。

一、 B样条的递推定义

B样条的递推定义，常用de Boor-Cox递推公式如下：
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具体的参数解释如下：
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从上式中我们可以看出其通式符合递归条件，如下图基函数生成过程的三角阵列中所示；
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举例如下：

1.1 零次B样条

当k=0时，由式可以直接给出零次B样条。
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具体图形表示如下：
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可以看出,零次B样条基函数Fi,o(t)在其定义区间上形状为一水平直线段。只在一个区间[ti,ti+i]上不为零,在其他子区间均为零。Fi,o(t)称为平台函数。

1.2 一次B样条

由Fi,o(t)移位，得到：
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且根据公式：
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结合以上两式，得：
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图形表达上式如下：
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1.3 二次B样条

二次B样条表达如下：
在这里插入图片描述
其计算过程：
在这里插入图片描述
其计算过程：

图形表达上式如下：
在这里插入图片描述

1.4 三次B样条

三次B样条表达如下
在这里插入图片描述
其计算过程：
在这里插入图片描述
带入，得：
在这里插入图片描述

图形表达上式如下：
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1.5 B样条基函数性质

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1.6 B样条基函数算法

1.6.1 代码实现

在这里插入图片描述

//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
double BasisFunctionValue(double t, int i, int k)
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if (k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

二、B样条曲线

2.1 B样条曲线定义

B样条曲线的数学定义为:
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具体详释：
在这里插入图片描述
尤为注意的是：

B样条有三大要素：节点，控制点，阶次。
其中B样条曲线所对应的节点向量区间：u[uk-1,un+1]
其具体定义理解可参照B站教程：计算机图形学bezier曲线曲面B样条曲线曲面

根据节点向量中节点的分布可以将B样条曲线分为以下四类：均匀B样条曲线、准均匀B样条曲线、分段Bezier曲线和非均匀B样条曲线。

2.2 均匀B样条曲线

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2.2.1 二次均匀B样条曲线

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二次均匀B样条曲线的几何意义,如下图：
在这里插入图片描述

2.2.1.1 代码实现

CP2 P[6];//控制点
double knot[9];//节点数组
int n;//控制点数-1
int k;//次数
    
CGeometricfiguretestView::CGeometricfiguretestView()
{
	// TODO: add construction code here
	knot[0]=-0.5,knot[1]=-0.25,knot[2]=0.0,knot[3]=0.25,knot[4]=0.5,knot[5]=0.75;//均匀二次B样条
	knot[6]= 1.0,knot[7]= 1.25,knot[8]= 1.5;
	n=5,k=2;
	P[0].x=-460,  P[0].y=-49;
	P[1].x=-355,  P[1].y=204;
	P[2].x= -63,  P[2].y=241;
	P[3].x= 66,   P[3].y=-117;
	P[4].x= 264,  P[4].y=-101;
	P[5].x= 400,  P[5].y=208;
}
void CGeometricfiguretestView::DrawBSplineCurve(CDC* pDC)//绘制B样条曲线
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//曲线颜色
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	double tStep=0.05;
    for(double t=0.0;t<=1.0;t+=tStep)
	{	
		CP2 p(0,0);
	   	for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			double BValue=BasisFunctionValue(t,i,k);			
			p+=P[i]*BValue;//B样条曲线定义
		}
		if(0.0==t)
			pDC->MoveTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
		else
			pDC->LineTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
	}  
	pDC->SelectObject(pOldPen);
	NewPen.DeleteObject();
}

void CGeometricfiguretestView::DrawControlPolygon(CDC* pDC)//绘制控制多边形
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	CBrush NewBrush,*pOldBrush;
	NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0));
	pOldBrush=pDC->SelectObject(&NewBrush);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		if(0==i)
		{
			pDC->MoveTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
		else
		{
			pDC->LineTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
	}
	pDC->SelectObject(pOldBrush);
	pDC->SelectObject(pOldPen);
}

double CGeometricfiguretestView::BasisFunctionValue(double t, int i, int k)//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if (k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

void CGeometricfiguretestView::OnDraw(CDC* pDC)
{
	CTestDoc* pDoc = GetDocument();
	ASSERT_VALID(pDoc);
	if (!pDoc)
		return;
	// TODO: add draw code for native data here
	CRect rect;//定义矩形
	GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
	pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
	pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
	pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y轴垂直向上
	pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
	DrawBSplineCurve(pDC);
	DrawControlPolygon(pDC);
}

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2.2.2 三次均匀B样条曲线

在这里插入图片描述

三次均匀B样条曲线的几何意义,如下图：
在这里插入图片描述

2.2.2.1 代码实现

CP2 P[6];//控制点
double knot[11];//节点数组
int n;//控制点数-1
int k;//次数
    
CGeometricfiguretestView::CGeometricfiguretestView()
{
	// TODO: add construction code here
	knot[0]=-3/3.0,knot[1]=-2/3.0,knot[2]=-1/3.0,knot[3]=0.0,knot[4]=1/3.0,knot[5]=2/3.0;//均匀三次B样条
	knot[6]=1.0,knot[7]= 4/3.0,knot[8]= 5/3.0,knot[9]=6/3.0;
	n=5,k=3;		
	P[0].x=-460,  P[0].y=-49;
	P[1].x=-355,  P[1].y=204;
	P[2].x= -63,  P[2].y=241;
	P[3].x= 66,   P[3].y=-117;
	P[4].x= 264,  P[4].y=-101;
	P[5].x= 400,  P[5].y=208;
}

void CGeometricfiguretestView::OnDraw(CDC* pDC)
{
	CTestDoc* pDoc = GetDocument();
	ASSERT_VALID(pDoc);
	if (!pDoc)
		return;
	// TODO: add draw code for native data here
	CRect rect;//定义矩形
	GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
	pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
	pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
	pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y轴垂直向上
	pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
	DrawBSplineCurve(pDC);
	DrawControlPolygon(pDC);
}

void CGeometricfiguretestView::DrawBSplineCurve(CDC* pDC)//绘制B样条曲线
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//曲线颜色
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);	
	double tStep=0.01;
    for(double t=0.0;t<=1.0;t+=tStep)
	{	
		CP2 p(0.0,0.0);
	   	for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			double BValue=BasisFunctionValue(t,i,k);			
			p+=P[i]*BValue;//B样条曲线定义
		}
		if(0.0==t)
			pDC->MoveTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
		else
			pDC->LineTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
	}  
	pDC->SelectObject(pOldPen);
	NewPen.DeleteObject();
}

void CGeometricfiguretestView::DrawControlPolygon(CDC* pDC)//绘制控制多边形
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	CBrush NewBrush,*pOldBrush;
	NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0));
	pOldBrush=pDC->SelectObject(&NewBrush);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		if(0==i)
		{
			pDC->MoveTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
		else
		{
			pDC->LineTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
	}
	pDC->SelectObject(pOldBrush);
	pDC->SelectObject(pOldPen);
}

double CGeometricfiguretestView::BasisFunctionValue(double t, int i, int k)//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if (k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

在这里插入图片描述

2.2.3 均匀B样条曲线灵活性

1.二重顶点
在曲线设计中，若要使B样条曲线与控制多边形的边相切，可使用二重点方法，如图所示。
2.三重顶点
要想在曲线中出现尖点，可使用三重点方法，如图所示。
在这里插入图片描述
3.三顶点共线
当三个顶点共线时，△P1P2P3退化为一段直线。可用于处理两段弧的相接。
在这里插入图片描述
4.四顶点共线
当四个顶点共线时，控制多边形P1P2P3 P4退化为一段直线，相应的B样条曲线段也退化为一段直线，可用于处理两段曲线之间接入一段直线的问题。
在这里插入图片描述
当控制多边形的首末端点全部为三重点，这可以使三次均匀B样条曲线过控制多边形的首末端点。
在这里插入图片描述

2.3 准均匀B样条曲线

均匀B样条的特点是节点等距分布，由各节点形成的B样条相同，可视为同一B样条的简单平移。均匀B样条基函数在[0, 1]区间上具有统一的表达式，使得计算与处理简单方便。一般情况下，应用均匀B样条可以获得满意的效果，而且计算效率高。但均匀B样条曲线有一个缺点，即未保留Bezier曲线的端点几何性质。曲线的首末端点不再是控制多边形的首末顶点。准均匀B样条曲线就是为了解决这个问题而提出的，目的是对曲线在端点的行为进行控制。

k次准均匀B样条曲线的节点矢量中，两端节点具有重复度k + 1，所有内节点呈均匀分布。因此，准均匀B样条曲线具有同次Bezier曲线的端点几何性质。两端节点k + 1重复度的出现，导致准均匀B样条曲线在计算与处理上，要比均匀B样条曲线复杂得多。实践中，是选择均匀B样条曲线还是选择准均匀B样条曲线，是需要斟酌的。

2.3.1 二次准均匀B样条曲线

CGeometricfiguretestView::CGeometricfiguretestView()
{
	// TODO: add construction code here
	knot[0]=0,knot[1]=0,knot[2]=0,knot[3]=1/4.0,knot[4]=2/4.0,knot[5]=3/4.0;//准均匀二次均匀B样条
	knot[6]=1,knot[7]=1,knot[8]=1;
	n=5,k=2;
	P[0].x=-460,  P[0].y=-49;
	P[1].x=-355,  P[1].y=204;
	P[2].x= -63,  P[2].y=241;
	P[3].x= 66,   P[3].y=-117;
	P[4].x= 264,  P[4].y=-101;
	P[5].x= 400,  P[5].y=208;
}

void CGeometricfiguretestView::OnDraw(CDC* pDC)
{
	CTestDoc* pDoc = GetDocument();
	ASSERT_VALID(pDoc);
	if (!pDoc)
		return;
	// TODO: add draw code for native data here
	CRect rect;//定义矩形
	GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
	pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
	pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
	pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y轴垂直向上
	pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
	DrawBSplineCurve(pDC);
	DrawControlPolygon(pDC);
}

void CGeometricfiguretestView::DrawBSplineCurve(CDC* pDC)//绘制B样条曲线
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//曲线颜色
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);	
	double tStep=0.01;
    for(double t=0.0;t<=1.0;t+=tStep)
	{	
		CP2 p(0.0,0.0);
	   	for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			double BValue=BasisFunctionValue(t,i,k);			
			p+=P[i]*BValue;//B样条曲线定义
		}
		if(0.0==t)
			pDC->MoveTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
		else
			pDC->LineTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
	}  
	pDC->SelectObject(pOldPen);
	NewPen.DeleteObject();
}

void CGeometricfiguretestView::DrawControlPolygon(CDC* pDC)//绘制控制多边形
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	CBrush NewBrush,*pOldBrush;
	NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0));
	pOldBrush=pDC->SelectObject(&NewBrush);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		if(0==i)
		{
			pDC->MoveTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
		else
		{
			pDC->LineTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
	}
	pDC->SelectObject(pOldBrush);
	pDC->SelectObject(pOldPen);
}

double CGeometricfiguretestView::BasisFunctionValue(double t, int i, int k)//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if (k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

在这里插入图片描述

2.3.1 三次准均匀B样条曲线

CGeometricfiguretestView::CGeometricfiguretestView()
{
	// TODO: add construction code here
	knot[0]=0,knot[1]=0,knot[2]=0,knot[3]=0,knot[4]=1/3.0,knot[5]=2/3.0;//准均匀三次均匀B样条
	knot[6]=1,knot[7]=1,knot[8]=1,knot[9]=1;
	n=5,k=3;		
	P[0].x=-460,  P[0].y=-49;
	P[1].x=-355,  P[1].y=204;
	P[2].x= -63,  P[2].y=241;
	P[3].x= 66,   P[3].y=-117;
	P[4].x= 264,  P[4].y=-101;
	P[5].x= 400,  P[5].y=208;
}
void CGeometricfiguretestView::OnDraw(CDC* pDC)
{
	CTestDoc* pDoc = GetDocument();
	ASSERT_VALID(pDoc);
	if (!pDoc)
		return;
	// TODO: add draw code for native data here
	CRect rect;//定义矩形
	GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
	pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
	pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
	pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y轴垂直向上
	pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
	DrawBSplineCurve(pDC);
	DrawControlPolygon(pDC);
}

void CGeometricfiguretestView::DrawBSplineCurve(CDC* pDC)//绘制B样条曲线
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//曲线颜色
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	double tStep=0.01;
    for(double t=0.0;t<=1.0;t+=tStep)
	{	
		CP2 p(0.0,0.0);
	   	for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			double BValue=BasisFunctionValue(t,i,k);			
			p+=P[i]*BValue;//B样条曲线定义
		}
		if(0.0==t)
			pDC->MoveTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
		else
			pDC->LineTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
	}  
	pDC->SelectObject(pOldPen);
	NewPen.DeleteObject();
}

void CGeometricfiguretestView::DrawControlPolygon(CDC* pDC)//绘制控制多边形
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	CBrush NewBrush,*pOldBrush;
	NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0));
	pOldBrush=pDC->SelectObject(&NewBrush);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		if(0==i)
		{
			pDC->MoveTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
		else
		{
			pDC->LineTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
	}
	pDC->SelectObject(pOldBrush);
	pDC->SelectObject(pOldPen);
}

double CGeometricfiguretestView::BasisFunctionValue(double t, int i, int k)//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if (k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

在这里插入图片描述

2.4 分段Bezier曲线

分段Bezier是B样条曲线的一种特殊类型，是一组顺序首尾相接且同为k次的Bezier曲线。在STEP中是这样来表示的：节点矢量中首末端节点重复度取成k + 1，所有内节点取成重复度k。选用分段Bezier曲线有个限制条件：控制顶点数减1必须是次数的整数倍，即n/k = 正整数；否则不能生成曲线。即使满足整数倍要求，所生成的分段Bezier曲线在连接点处也只能达到C1连续性。分段Bezier的主要用途之一，就是把几何连续的分段多项式曲线统一采用B样条表示。

2.4.1 代码实现

CGeometricfiguretestView::CGeometricfiguretestView()
{
	// TODO: add construction code here
	knot[0]=0.0,knot[1]=0.0,knot[2]=0.0,knot[3]=0.0,knot[4]=0.5,knot[5]=0.5;//分段三次Bezier
	knot[6]=0.5,knot[7]=1.0,knot[8]=1.0,knot[9]=1.0,knot[10]=1.0;
	n=6,k=3;		
	P[0].x=-319,  P[0].y=-14;
	P[1].x=-269,  P[1].y=202;
	P[2].x= -61,  P[2].y=198;
	P[3].x= -32,  P[3].y=13;
	P[4].x= 54,   P[4].y=-116;
	P[5].x= 253,  P[5].y=-76;
	P[6].x= 296,  P[6].y=66;
}

void CGeometricfiguretestView::OnDraw(CDC* pDC)
{
	CTestDoc* pDoc = GetDocument();
	ASSERT_VALID(pDoc);
	if (!pDoc)
		return;
	// TODO: add draw code for native data here
	CRect rect;//定义矩形
	GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
	pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
	pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
	pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y轴垂直向上
	pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
	DrawBSplineCurve(pDC);
	DrawControlPolygon(pDC);
}

void CGeometricfiguretestView::DrawBSplineCurve(CDC* pDC)//绘制B样条曲线
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//曲线颜色
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	double tStep=0.01;
    for(double t=0.0;t<=1.0;t+=tStep)
	{	
		CP2 p(0.0,0.0);
	   	for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			double BValue=BasisFunctionValue(t,i,k);			
			p+=P[i]*BValue;//B样条曲线定义
		}
		if(0.0==t)
			pDC->MoveTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
		else
			pDC->LineTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
	}  
	pDC->SelectObject(pOldPen);
	NewPen.DeleteObject();
}

void CGeometricfiguretestView::DrawControlPolygon(CDC* pDC)//绘制控制多边形
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	CBrush NewBrush,*pOldBrush;
	NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0));
	pOldBrush=pDC->SelectObject(&NewBrush);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		if(0==i)
		{
			pDC->MoveTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
		else
		{
			pDC->LineTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
	}
	pDC->SelectObject(pOldBrush);
	pDC->SelectObject(pOldPen);
}

double CGeometricfiguretestView::BasisFunctionValue(double t, int i, int k)//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if (k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

在这里插入图片描述

2.5 非均匀B样条曲线

与其他类型的B样条曲线不同的是，给定控制点Pi, i = 0, 1,…, n，欲定义一条k次非均匀B样条曲线，还必须计算节点矢量 中具体的节点值。利用曲线的分段连接点与控制多边形的边对应关系，可以自动计算节点矢量。常用的算法有Hartley-Judd算法。

2.5.1 Hartley-Judd算法

1978年，Hartley和Judd认为应该根据曲线的连续性，分别考察每个控制多边形的k条边的和，然后再予以规范化。这就是Hartley-Judd算法。定义域内节点区间长度按下式计算：
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

2.5.2 代码实现

CGeometricfiguretestView::CGeometricfiguretestView()
{
	// TODO: add construction code here
	n=4; k=2;		
	P[0].x=-200,  P[0].y=100;
	P[1].x=-150,  P[1].y=-100;
	P[2].x=0,     P[2].y=250;
	P[3].x=150,   P[3].y=-100;
	P[4].x=200,   P[4].y=100;
}

void CGeometricfiguretestView::OnDraw(CDC* pDC)
{
	CTestDoc* pDoc = GetDocument();
	ASSERT_VALID(pDoc);
	if (!pDoc)
		return;
	// TODO: add draw code for native data here
	CRect rect;//定义矩形
	GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
	pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
	pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
	pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y轴垂直向上
	pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
	GetKnotVector();
	DrawBSplineCurve(pDC);
	DrawControlPolygon(pDC);
}

void CGeometricfiguretestView::GetKnotVector()// Hartley-Judd方法获取节点值
{
   for(int i=0;i<=k;i++) //小于次数k的节点值为0
      knot[i]=0.0;
   for(int i=n+1;i<=n+k+1;i++)//大于n的节点值为1
       knot[i]=1.0;
   //计算n-k个内节点
   for(int i=k+1;i<=n;i++)
   {
	   double sum=0.0;
	   for(int j=k+1;j<=i;j++)//公式（5-24）
	   { 
		   double numerator=0.0;//计算分子
		   for(int loop=j-k;loop<=j-1;loop++)
		   {
			   numerator+=sqrt((P[loop].x-P[loop-1].x)*(P[loop].x-P[loop-1].x)+(P[loop].y-P[loop-1].y)*(P[loop].y-P[loop-1].y));//计算两个点之间的距离
		   }
		   double denominator=0.0;//计算分母
		   for(int loop1=k+1;loop1<=n+1;loop1++)
		   {
			   for(int loop2=loop1-k;loop2<=loop1-1;loop2++)
			   {
				   denominator+=sqrt((P[loop2].x-P[loop2-1].x)*(P[loop2].x-P[loop2-1].x)+(P[loop2].y-P[loop2-1].y)*(P[loop2].y-P[loop2-1].y));//计算两个点之间的距离
				}
		   }	
		   sum+=numerator/denominator;//计算节点值
	   } 
       knot[i]=sum;
   }
}

void CGeometricfiguretestView::DrawBSplineCurve(CDC* pDC)//绘制B样条曲线
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//曲线颜色
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	double tStep=0.01;
    for(double t=0.0;t<=1.0;t+=tStep)
	{	
		CP2 p(0.0,0.0);
	   	for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			double BValue=BasisFunctionValue(t,i,k);			
			p+=P[i]*BValue;//B样条曲线定义
		}
		if(0.0==t)
			pDC->MoveTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
		else
			pDC->LineTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
	}  
	pDC->SelectObject(pOldPen);
	NewPen.DeleteObject();
}

void CGeometricfiguretestView::DrawControlPolygon(CDC* pDC)//绘制控制多边形
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	CBrush NewBrush,*pOldBrush;
	NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0));
	pOldBrush=pDC->SelectObject(&NewBrush);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		if(0==i)
		{
			pDC->MoveTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
		else
		{
			pDC->LineTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
	}
	pDC->SelectObject(pOldBrush);
	pDC->SelectObject(pOldPen);
}

double CGeometricfiguretestView::BasisFunctionValue(double t, int i, int k)//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if(k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

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THE END
综合
# 计算几何
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